El tema de inicio en éste mes fue "Funciones de dos o más variables" y luego "Análisis del dominio de definición o Campo de existencia".
Funciones de dos o más variables
Sea D un subconjunto de Rn.
Si a cada (x1, . . . , xn) ∈ D le corresponde un único número real f (x1, . . . , xn)
se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.
El conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f,
y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f.
La gráfica de una función de n variables x1, . . . , xn es el conjunto
de puntos (x1, . . . , xn, z) ∈ Rn+1 que satisfacen
z = f (x1, . . . , xn)
con (x1, . . . , xn) en el dominio de f.
- Si f(x,y)=z, la g´rafica en R3, se obtiene una SUPERFICIE.
- El dominio de la función f(x,y) será una "región" del plano XOY o todo el plano mencionado.
- El rango de f(x,y) es el conjunto de escalares z=R.
- La gráfica de f(x,y,z)=w no se puede representar en R3, pero será una HIPERSUPERFICIE. Solo se puede representar en R3 el dominio.
Análisis del dominio de definición o Campo de existencia
El análisis mencionado, se distingue por tres partes características del mismo: Análisis Matemático, Análisis Gráfico y Análisis Descriptivo.
Análisis Matemático.- consiste en la parte analítica del problema.
Análisis Descriptivo.- Detalla las condiciones que debe cumplir el dominio de la función en análisis.
Ejm:
III) Análisis descriptivo.
El dominio de la función es el conjunto de pares ordenados (x,y), tales que cumplen que y>=-1-x, excluidos todos los pares con x=1.
Ejercicio adicional: A= 1/2 bxh
CURVAS DE NIVEL
Este tema fue realizado en la 2° Clase, las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son: f(x,y)=k, donde k es una constante.
- Si f(x,y,z)=k, entonces se generan las SUPERFICIES DE NIVEL.
- Si f(x,y,z,w)=k, entonces se generan HIPERSUPERFICIES DE NIVEL.
En la 8° clase se estudio el tema de Límites de funciones de varias variables.
LIMITES
Observaciones:
- Si por dos caminos o trayectorias diferentes, el valor del límite es diferente, entonces concluimos que el límite no existe.
- Si por dos o más caminos el valor del límite es el mismo, suponemos que el límite existe, y por ende debemos proceder a demostrar su existencia.
Para demostrar que si existe el límite se lo puede hacer por Coordenadas polares o por medio de la definición.
- Las coordenadas polares consiste en hacer un cambio de variable.
- Por medio de la definición.
La continuidad fue analizada en la 9° Clase.
CONTINUIDAD
Sea f(x,y)=z una función de dos variables, se dice que es continua si (Xo,Yo) si cumple:
Se debe cumplir:
También se debe saber si es discontinua, y a ésta función f(x,y)=z es discontinua en (Xo,Yo), si:
a) DISCONTINUA EVITABLE
b) DISCONTINUA EVITABLE
c) DISCONTINUA INEVITABLE
a, b, c respectivamente.
Si la función es discontinua evitable se debe REDIFINIR, para transformarla a Continua en (Xo,Yo).
DERIVADAS PARCIALES
En R3:
f: R2 -----R2
(x,y)----f(x,y)
x,y: variables independientes.
z: variable dependiente.
Nótese que en la definición de la derivada parcial fx(x, y) la variable y se mantiene constante, y análogamente ocurre con la variable x en la definición de fy(x, y). Esto viene a decir que la derivada parcial respecto a una de las variables es una derivada en el sentido usual de funciones de una variable real, mientras que el resto de variables que comparecen en la función permanecen constantes. Por lo tanto, en el cálculo de derivadas parciales es lícito el uso de las reglas de derivación para funciones de una variable real.
Interpretación Fisica.- las derivadas parciales físicamente representa una RAZÓN DE CAMBIO, cuando varía f si "x" varía manteniendo fija "y"; o varía si "y". Por ejemplo, puede ser la ecuación de los gases ideales "P=nRT/V", donde la presión varia en función de la temperatura y la presión.
Interpretación Geométrica.-
El plano tangente a f(x,y) en el punto Po(Xo,Yo,Zo)
El plano tangente a f(x,y) en el punto Po(Xo,Yo,Zo)
No hay comentarios:
Publicar un comentario